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九靈
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#19024
徐版《几何原本》书格链接 卷一,“界说即定义,约定三十六则”,第一界对点的定义:

“点者无分,无长短广狭厚薄。”

这句话“无分”是什么意思呢?我们先看徐版卷五第一界对分的定义:

分者,几何之几何也。小能度大,以小为大之分。以小几何度大几何谓之分。

“曰,几何之几何者谓非此小几何?不能为此大几何之分也。如一点无分亦非几何,即不能为线之分也。一线无广狭之分,非广狭之几何,即不能为面之分也。一面无厚薄之分,非厚薄之几何,即不能为体之分也。”

曰,能度大者谓小几何,大几何能尽,大之分者也。如甲为乙、为丙之分,则甲为乙三分之一,为丙六分之一,无赢不足也。若戊为丁之一即赢,为二即不足,己为丁之三即赢,为四即不足,是小不尽大,则丁不能为戊己之分也。以数明之:若四于八、于十二、于十六、于二十诸数皆能尽分,无赢不足也。若四于六、于七、于九、于十、于十八、于三十八诸数,或赢或不足,皆不能尽分者也。本书所论皆指能尽分者。故称为分若不尽分者,当称几分。几何之几如四于六,为三分六之二(即三分之二),不得正名为分,不称小度大也,不为大几何内小几何也”。

截图  几何原本. 六卷.  徐光启编著.  明万历三十五年. 初刊本

这段话的第三部分见❸举例阐述了什么是几何。如果一个数可以被另一个更小的数整除,那这个被除数就叫大几何,除数就叫小几何。若不能整除,就 “不为大几何内小几何也”,换言之,就不叫几何。

比如徐举例说,4对于8来说,两个4叠加,可以得到8。或者说,用4去度量8,只要2次,就可以正正好好量得8。所以4就是小几何,而8就是大几何。同理,3个4相加等于12,4个4相加可得16,因此对于12,16来说,4就是小几何,而它们就是大几何。

又比如,6不能被4整除,有余数2。也就是说,用6去度量1个4,就多出2;如果用6去度量2个4的话,6又短了一节,少量了2,所以6不能被4整除,6不是4的大几何,反之,4不是6的小几何。

而“分”就如❶中定义的“以小几何度大几何谓之分”,就是大数能够被小数整除。而“不尽分者,当称几分。”不能整除的叫“几分”。

也就是说,在徐版《几何原本》中,“点者无分”的意思就是点不可以(被任何精度的单位)度量。那么什么不可以被度量,只有0不可以被度量,0就是没有。这个世界上,所有的物都可以被不同精度的单位度量,哪怕无限大或者无限小,都不是没有,都不是0,所以都可以被度量。换句话说,“点”是想象的一个概念,并非这个物质世界中的实有

那么什么时候不可以被叫做“分”呢?看徐在❷中接下去解释道:点是0,哪怕无数个0相加结果都是0,不可能变成1或者2或者3,所以“点”不是“线”的分,所以点不能构成线,点也不可以度量线;而线也和点一样是一个想象的概念,只有长短,没有宽度,所以线不是“面”的分,所以线不能构成面,线不可以度量面;面没有厚薄,所以面不能构成体,体不能以面来度量。