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九靈
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#19024
徐版《几何原本》书格链接 卷一,“界说即定义,约定三十六则”,第一界对点的定义:

“点者无分,无长短广狭厚薄。”

这句话 “无分” 是什么意思呢?我们先看徐版卷五第一界对分的定义:

分者,几何之几何也。小能度大,以小为大之分。以小几何度大几何谓之分。

“曰,几何之几何者谓非此小几何?不能为此大几何之分也。如一点无分亦非几何,即不能为线之分也。一线无广狭之分,非广狭之几何,即不能为面之分也。一面无厚薄之分,非厚薄之几何,即不能为体之分也。”

曰,能度大者谓小几何,大几何能尽,大之分者也。如甲为乙、为丙之分,则甲为乙三分之一,为丙六分之一,无赢不足也。若戊为丁之一即赢,为二即不足,己为丁之三即赢,为四即不足,是小不尽大,则丁不能为戊己之分也。以数明之:若四于八、于十二、于十六、于二十诸数皆能尽分,无赢不足也。若四于六、于七、于九、于十、于十八、于三十八诸数,或赢或不足,皆不能尽分者也。本书所论皆指能尽分者。故称为分若不尽分者,当称几分。几何之几如四于六,为三分六之二(即三分之二),不得正名为分,不称小度大也,不为大几何内小几何也”。

截图  几何原本. 六卷.  徐光启编著.  明万历三十五年. 初刊本

这段话的第三部分见❸举例阐述了什么是几何。如果一个数可以被另一个更小的数整除,那这个被除数就叫大几何,除数就叫小几何。若不能整除,就 “不为大几何内小几何也”,换言之,就不叫几何。

比如徐举例说,4 对于 8 来说,两个 4 叠加,可以得到 8。或者说,用 4 去度量 8,只要 2 次,就可以正正好好量得 8。所以 4 就是小几何,而 8 就是大几何。同理,3 个 4 相加等于 12,4 个 4 相加可得 16,因此对于 12,16 来说,4 就是小几何,而它们就是大几何。

又比如,6 不能被 4 整除,有余数 2。也就是说,用 6 去度量 1 个 4,就多出 2;如果用 6 去度量 2 个 4 的话,6 又短了一节,少量了 2,所以 6 不能被 4 整除,6 不是 4 的大几何,反之,4 不是 6 的小几何。

而 “分” 就如❶中定义的 “以小几何度大几何谓之分”,就是大数能够被小数整除。而 “不尽分者,当称几分。” 不能整除的叫 “几分”。

也就是说,在徐版《几何原本》中,“点者无分” 的意思就是点不可以(被任何精度的单位)度量。那么什么不可以被度量,只有 0 不可以被度量,0 就是没有。这个世界上,所有的物都可以被不同精度的单位度量,哪怕无限大或者无限小,都不是没有,都不是 0,所以都可以被度量。换句话说,“点” 是想象的一个概念,并非这个物质世界中的实有

那么什么时候不可以被叫做 “分” 呢?看徐在❷中接下去解释道:点是 0,哪怕无数个 0 相加结果都是 0,不可能变成 1 或者 2 或者 3,所以 “点” 不是 “线” 的分,所以点不能构成线,点也不可以度量线;而线也和点一样是一个想象的概念,只有长短,没有宽度,所以线不是 “面” 的分,所以线不能构成面,线不可以度量面;面没有厚薄,所以面不能构成体,体不能以面来度量。