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九靈
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#19269 楼,

从中国古代筹算一筹一数分析当代数学四则运算之中国起源

正如 #19202 楼中克里斯·桑温 (Chris Sangwin)在其论文《算术,算筹纳皮尔骨头以及计算》Arithmetic, bones and counting中所言:

位值是关键。我们用以书写数字的十进制系统是当代最重要的科学技术之一。您可能没有这样的想法,但实际上就是这样。以紧凑形式 253 表示数字(二百三十五)的十进制表示法是一种精湛的技术创新。

然而他没有说的是:正是中国古人利用筹码不同的 “位” 来表示不同的 “值”,发明了十进位值制记数法,正是位值制记数法的发明才使得数学最基本然而却最重要的四则运算成为可能。其中当然也包括基本的基本的运算关系式。

中国筹算的历史应该和中华民族的文明史一样古老,筹算在春秋战国时代已被广泛使用,并且筹的算法已趋成熟。筹算的基本计数方法是以 “十进制” 为基本记数单位,采用 “纵横交替” 的筹算记数。

汉书·律历志》中有关于算筹的形状与大小的记载:

“其算法用竹,径一分,长六寸,二百七十一枚而成六觚,为一握。”

西汉算筹一般是直径为 0.23 厘米,长约 13.86 厘米的圆形竹棍,把二百七十一枚筹捆成六角形的捆。

隋书·律历志》称:

“其算用竹,广二分,长三寸。正策三廉,积二百一十六枚成六觚,乾之策也。负策四廉,积一百四十四枚成方,坤之策也。”

到了隋代,算筹已是三棱形与四棱形两种,以区别正数与负数。其广约为 0.59 厘米,长约 8.85 厘米。这表明从汉到隋,算筹从圆而方,由长变短,以便携带和运用。

魏刘徽注《九章算术》称:

“正算赤, 负算黑, 否则以邪正为异。”

又《梦溪笔谈》卷八称:

“算法用赤筹、黑筹,以别正负之数。”

可见早在三国以前,中算家便已用筹的颜色的赤、黑或形状的邪、正(三棱形和四棱形)来区分正、负数了。

算筹记数的规则,最早载于《孙子算经》:

“凡算之法,先识其位。一纵十横,百立千僵。千、十相望,万、百相当。”

用算筹表示数目有纵、横两种方式:

图  一到九的直型态与横型态对照

可是,为什么会有纵横两种排列方式呢?这是因为使用直横混合排列可以在布筹的时候避免数字混淆。

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未完待续……