平方法例题：
《兼济堂汇编刻梅勿庵先生历算全书》（雍正癸卯元年1723年刻印发行，美国国会图书馆藏），筹算 卷二：平方法。
题：假如有积一千，平方开之。
算法：
（一）、“列位”
（二）、“作点”。作点的方法，从单位（个位）开始，从低位到高位，隔位以点作标记。
（三）、“视点在次位，以首二位一千〇百①合商之。”这句话是说，看两个点，高位的那个点不在首位，在第二位，因此用首次两位取初商。
（四）、“乃视平方筹小于一〇者，〇九也，〇九之方三。商作三十。”这句话是说，看平方筹，在筹上找比10小的最大的积，此处为9, 而9的平方根是3，因此，初商的值是30。因为有两个点，所以初商是两位数。
（五）、“减方积九百，余一百。”
（六）、“次以初商三十，倍作六十②，用第六筹为廉法。”
（七）、“视第六筹第一行③是〇六，小于一百，次商一于初商三十之下。”再看第六筹，第二行是12，这里表示120，比100大，不合适，再看第一行是6，这里表示60, 比100小，所以记1（第一行）到3下面。
（八）、“次以次商一为隅法，减余积一④，余三十九不尽。”
（九）、“所开以至单位，而有不尽，以法命之⑤。倍所商三十一，又加隅一，共六十三为命分，命为平方三十一又六十三分之三十九。”至此已经开到个位，还有余数，因此，要用命分法（分数）来计算余下的部分。命分法的本质是 再作两个宽为1（最小的整数）的次廉（矩形）和一个边长为1的隅（小正方形），这样就得到 了一个边长32的正方形，积为1024，1024大于题目所给的1000，所以只取其中的一部分，即39/63。这样，得到的积正好1000。
注：
①，空位，表示无，即零。此处“一千〇百”即表示千位记一，而百位记零，即1000。
②，初商外有次商，以初商乘次商（长x宽）得廉积（矩形面积），廉积有两个，因此初商需乘以二。
③，古书从上往下，从右往左书写或者阅读，所以“行”指从上往下垂直的一行（现在叫列）。
④，如此，方积+两廉积+一隅积正好又是一个正方形。但是和题目给的积（正方形）一千还差三十九。看图，初商+次商=31，即一方两廉一隅形成的大一点的正方形边长31，如果我继续以31寻找两个矩形（廉积）的话，就找不到了，因为即使取最小的整数为1，两个矩形面积之和为62，大于39。所以叫作“余三十九不尽”。
⑤，“命分法曰，但开至单数而有余实者，是不尽也。不尽者，以法命之。法以所开得数倍之，又加隅一为命分，不尽之数为得分。凡得分，必小于命分。”
图 计算过程
