@18534

九靈
游客

平方法例题:

《兼济堂汇编刻梅勿庵先生历算全书》(雍正癸卯元年 1723 年刻印发行,美国国会图书馆藏),筹算 卷二:平方法。

:假如有积一千,平方开之。

算法

(一)、“列位”

(二)、“作点”。作点的方法,从单位(个位)开始,从低位到高位,隔位以点作标记。

(三)、“视点在次位,以首二位一千〇百合商之。” 这句话是说,看两个点,高位的那个点不在首位,在第二位,因此用首次两位取初商。

(四)、“乃视平方筹小于一〇者,〇九也,〇九之方三。商作三十。” 这句话是说,看平方筹,在筹上找比 10 小的最大的积,此处为 9, 而 9 的平方根是 3,因此,初商的值是 30。因为有两个点,所以初商是两位数。

(五)、“减方积九百,余一百。”

(六)、“次以初商三十,倍作六十,用第六筹为廉法。”

(七)、“视第六筹第一行是〇六,小于一百,次商一于初商三十之下。” 再看第六筹,第二行是 12,这里表示 120,比 100 大,不合适,再看第一行是 6,这里表示 60, 比 100 小,所以记 1(第一行)到 3 下面。

(八)、“次以次商一为隅法,减余积一,余三十九不尽。”

(九)、“所开以至单位,而有不尽,以法命之。倍所商三十一,又加隅一,共六十三为命分,命为平方三十一又六十三分之三十九。” 至此已经开到个位,还有余数,因此,要用命分法(分数)来计算余下的部分。命分法的本质是 再作两个宽为 1(最小的整数)的次廉(矩形)和一个边长为 1 的隅(小正方形),这样就得到 了一个边长 32 的正方形,积为 1024,1024 大于题目所给的 1000,所以只取其中的一部分,即 39/63。这样,得到的积正好 1000。

注:

①,空位,表示无,即零。此处 “一千〇百” 即表示千位记一,而百位记零,即 1000。

②,初商外有次商,以初商乘次商(长 x 宽)得廉积(矩形面积),廉积有两个,因此初商需乘以二。

③,古书从上往下,从右往左书写或者阅读,所以 “行” 指从上往下垂直的一行(现在叫列)。

④,如此,方积+两廉积+一隅积正好又是一个正方形。但是和题目给的积(正方形)一千还差三十九。看图,初商+次商=31,即一方两廉一隅形成的大一点的正方形边长 31,如果我继续以 31 寻找两个矩形(廉积)的话,就找不到了,因为即使取最小的整数为 1,两个矩形面积之和为 62,大于 39。所以叫作 “余三十九不尽”。

⑤,“命分法曰,但开至单数而有余实者,是不尽也。不尽者,以法命之。法以所开得数倍之,又加隅一为命分,不尽之数为得分。凡得分,必小于命分。”

图  计算过程