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九靈
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《算术之钥》的狐狸尾巴

阿尔·卡西的算书《算术之钥》:

“1424 年 7 月, 他完成了《论圆周》( Risāla al-muhitiyya, “The Treatise on the Circumference”) , 书中体现了卡西非凡的运算能力, 他将 2π 的值精确地推算到小数点后十六位。”

“卡西在《论圆周》介绍部分给出了求解高精度圆周率的原因。他简要回顾了以往三位著名的数学家阿基米德(Archimedes,287~212BC)、阿布·瓦法(Abu’l-Wafā’ ,940~998)和阿尔·比鲁尼(Al-Bīrūnī,973~约 1050)相关工作中存在的缺陷。随后,卡西给出了他所要求圆周率的精度要求,即若存在一个直径为地球直径 600,000 倍的假想天球,使得通过此直径所求得的圆周长与真实值之间的误差小于一根马鬃的粗细。通过估算,卡西得出满足上述要求的圆周率必须精确到 60 进制分数值的第 9 位,即 60-9(相当于 10-16)。换句话说,再将圆周率继续推算几位并不存在技术困难,只是推算至 60-9 即可。”

我们来看看宋末祖冲之怎么计算圆周率的。上面一段对阿尔·卡西计算圆周率的描述和《隋书. 律历志》对祖冲之计算圆周率的记载是不是很像很像呢?

“宋末,南徐州从事史祖冲之,更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间。密率,圆径一百一十三,圆周三百五十五。约率,圆径七,周二十二。又设开差冪,开差立,兼以正圆参之。指要精密,算氏之最者也。”

关于卡西的圆周率我只想问一句,祖冲之计算圆周率是以中国统一的精确的完备的度量衡表达小数,请问卡西计算圆周率时依据什么东西来界定小数的呢?